一、选择题。1~12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
1、lim(x→0) ln(1-ax)/2x = 1，则 a = ( )
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
【参考答案】A
解析：当 x→0 时，ln(1-ax) ~ -ax(等价无穷小)，则 lim(x→0) ln(1-ax)/2x = lim(x→0)
-ax/2x = -a/2 = 1 ⇒ a = -2。
 
2、函数 f(x) = {5-3tanx/x，x≠0;a，x=0} 在 x=0 处连续，则 a = ( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【参考答案】C
解析：函数在 x=0 处连续，则 lim(x→0) f(x) = f(0) = a，lim(x→0) (5-3tanx/x) = 5-3×1 =2 ⇒  a=2。
 
3、设 y=f(x) 是由方程 y=2+xe^y 所确定的隐函数，则 f'(0) = ( )
A. 0 B. 1 C. e D. e²
【参考答案】D
解析：将 x=0 代入方程得 y=2+0=2。方程两边对 x 求导：y' = e^y + xe^y·y'。将 x=0，
y=2 代入：y' = e²+0，故 f'(0)=e²。
 
4、函数 f(x) = x²-6ln(x+2) 的极小值点为 ( )
A. x=1 B. x=2 C. x=e D. x=2e
【参考答案】A
解析：定义域为 x>-2。求导：f'(x) = 2x-6/(x+2) = 2(x+3)(x-1)/(x+2)。令 f'(x)=0，得 x=1
(x=-3 不在定义域内，舍去)。当 -21 时 f'(x)>0，故 x=1 是极小值点。
 
5、曲线 y=ln(1+x²) 在点 (1, ln2) 处的切线的斜率为 ( )
A. 1/2 B. 1 C. 3/2 D. 2
【参考答案】B
解析：y' = 2x/(1+x²)，代入 x=1：y'(1) = 2×1/(1+1²) = 1。
 
6、∫5x sinx dx = ( )
A. -x sinx - cosx + C B. -x cosx - 5sinx + C C. -5x sinx + cosx + C D. -5x  cosx + 5sinx+ C
【参考答案】D
解析：分部积分法，令 u=5x，dv=sinx dx，则 du=5dx，v=-cosx：∫5x sinx dx = -5x cosx
+ ∫5cosx dx = -5x cosx + 5sinx + C。
+ ∫5cosx dx = -5x cosx + 5sinx + C
 
7、∫- 1 1(e~x-e~-x)/8 dx = （   ）
A.e B.e+e~-1-2 C.e~-1 D.0
【参考答案】D
解析：设g(x）=(e^x-e^-x)/8，则g(-x）=(e^-x-e^x)/8=-g(x)，被积函数为奇函数。奇函数在对称区间【-1,1】上的定积分为0。
 
8、 ∫ * ∞ 5/x² dx = （   ）
A.5/4 B.5/3 C.5/2 D.5
【参考答案】C
 
9、设z=y+e^xy，则dz=（）
A.ye^xydx+(1+xe^xy)dy B.e^xydx+(1+xe^xy)dy C.ye^xydx+(1+e^xy) dy D.e^xydx+(1+e~xy)dy
【参考答案】A
解析：求偏导数：az/ax=ye^xy，az/ay=1+xe^xy。
全微分dz=az/axdx+az/ay
dy=ye^xydx+(1+xe^xy)dy。
 
10、设函数f(x)=ln(3+sinx)，则f’（π）=（）
A. 1n3 B. 1/3 C. 0 D. -1/3
【参考答案】D
解析：复合函数求导：f”（x）=cosx/(3+sinx)。代入x=π（cosπ=-1，sinπ=0)：f’（π）=－1/(3+0) = -1/3。
 
11、已知随机变量X服从二项分布B(4,0.3)，则E(X）=（）
A.1.2B.1C.0.3 D.0
【参考答案】A
解析：二项分布期望公式E(X)=np，其中n=4，p=0.3：E(X）=4×0.3=1.2。
 
12、由直线 y=-x+1、x轴和y 轴所围成的图形的面积可表示为（）
A.∫。1 (1+x)dx B. J。1 (1-x)dx C.∫。²(1+x)dx D.f。2 (1-x)dx
【参考答案】B
解析：直线 y=1-x与坐标轴的交点为（1,0)、（0,1)，在区间【0,1】上y≥0，面积S={。(1-x) dx。
 
二、填空题
13~15小题，每小题4分，共12分。
 
13、曲线y=xe^-x+3x的拐点为
【参考答案】（2，6+2/e²)
析：y’=e^-x-xe^-x+3，y’=-e^-x-e^-x+xe²-x=e^-x（x-2)。令y²'=0，得 x=2:代入
原函数y(2）=2e~-2+6=6+2/e²。且x<2 时y”’<0，x>2 时y’’>0，凹凸性改变，故拐点为(2,6+2/e²)。
 
14、函数y=x/（7lnx）的间断点为
【参考答案】x=1
解析：令分母71nx=0，得1nx=0，即x=1。函数在x=1 处无定义，且1im(x→1）x/(71nx)=∞，故 x=1 为无穷间断点。
 
15、设A,B 为两事件，若P(AUB)=0.7，P(A-B)=0.4，则P(B)=_
【参考答案】0.3
解析：利用公式P(AUB)=P(A-B)+P(B)：P(B)=P(AUB)-P(A-B)=0.7-0.4=0.3。
 
三、计算题
16~18小题，共28分。
 
16、(8分)求极限1im(x→0）∫。×tantdt/2x²。
解：该极限为0/0型未定式，应用洛必达法则。分子为变上限积分，其导数为被积函数tanx:1im(x→0）J。×tan tdt/2x²=1im(x→0）tanx/(4x)
当x→0时tanx~x（等价无穷小)，故1im（x→0）tanx/(4x）=1im（x→0）x/(4x）=1/4
【参考答案】1/4
 
17、（10分)计算不定积分3/(1+cosx）dx。
解：利用半角公式1+cosx=2cos²（x/2)：
J3/(1+cosx） dx = J 3/(2cos²(x/2)） dx = 3/2 J sec²(x/2) dx
由{ sec²(x/2) dx =2tan(x/2)+C，得 ∫ 3/(1+cosx) dx =3/2·2tan(x/2)+C=3tan(x/2)+C
【参考答案】3tan（x/2)+C
 
18、（10分)求二元函数f（x,y）=（x-y)²+1/2x²+3y的极值。
解：
(1)求驻点。一阶偏导数：
f_x = 3(x-y)²+x，f_y = -3(x-y)2+3
令f_x=0，f_y=0：由 f_y=0 得-3(x-y)²+3=0，即（x-y)²=1;代入f_x=0 得3×1+x=0，解
得x=-3。
又x-y=±1:
·当x-y=1，x=-3时，y=-4，得驻点（-3,-4)；
·当x-y=-1，x=-3 时，y=-2，得驻点（-3,-2)。
(2)用二阶偏导数判别。二阶偏导数：
f_xx = 6(x-y)+1，f_xy = -6(x-y)， f_yy = 6(x-y)
记A=f_xx，B=f_xy，C=f_yy，判别式 △=AC-B²。
·对驻点（-3,-4)，此时x-y=1:A=7，B=-6，C=6，△=7×6-（-6)²=42-36=6>0。
且A=7>0,故（-3,-4）为极小值点，极小值为f(-3,-4)=（-3+4)3+1/2(-3)²+3(-4)=1+9/2-12
=-13/2。
·对驻点（-3,-2)，此时x-y=-1：A=-5，B=6，C=-6，△=（-5)×(-6)-6²=30-36=-6<0。
故（-3,-2）不是极值点。
【参考答案】函数在点（-3，-4）处取得极小值-13/2，无极大值。